En radioélectricité, de nombreux circuits électroniques utilisent une association de bobines et de condensateurs pour sélectionner, produire ou filtrer des fréquences. Ces composants sont notamment présents dans les récepteurs radio, les oscillateurs et les filtres haute fréquence.
Mais comment déterminer la fréquence à laquelle un circuit composé d’une bobine et d’un condensateur entre en résonance ?
La réponse repose sur une formule fondamentale de l’électronique : la formule de Thomson.
Dans cet article, nous allons découvrir le fonctionnement d’un circuit LC, comprendre le phénomène de résonance et apprendre à calculer sa fréquence. Un simulateur interactif vous permettra ensuite de modifier les valeurs des composants et d’observer immédiatement les résultats.
1. Qu’est-ce qu’un circuit LC ?
Un circuit LC est constitué de deux composants électroniques :
- L : une inductance, généralement réalisée à l’aide d’une bobine.
- C : une capacité, obtenue à l’aide d’un condensateur.
Ces deux composants possèdent une propriété commune : ils peuvent stocker temporairement de l’énergie.
La bobine : stockage magnétique
Lorsqu’un courant électrique traverse une bobine, celle-ci crée un champ magnétique.
L’énergie est alors stockée sous forme magnétique. Lorsque le courant varie, la bobine s’oppose à cette variation en produisant une tension induite.
L’inductance se mesure en henrys (H).
En radioélectricité, on utilise fréquemment des valeurs beaucoup plus petites :
- Millihenry (mH) : 0,001 H.
- Microhenry (µH) : 0,000001 H.
- Nanohenry (nH) : 0,000000001 H.
Le condensateur : stockage électrique
Un condensateur est constitué de deux armatures conductrices séparées par un matériau isolant appelé diélectrique.
Lorsqu’une tension est appliquée à ses bornes, des charges électriques s’accumulent sur ses armatures.
Il stocke ainsi de l’énergie dans un champ électrique.
Sa capacité s’exprime en farads (F).
En radiofréquence, les valeurs rencontrées sont souvent exprimées en nanofarads (nF) ou en picofarads (pF).
Circuit LC constitué d’une bobine et d’un condensateur. L’énergie peut passer alternativement du champ électrique du condensateur au champ magnétique de la bobine.
2. Comment fonctionne la résonance d’un circuit LC ?
Imaginons un condensateur initialement chargé, connecté à une bobine idéale.
Au départ, l’énergie est stockée dans le condensateur sous forme électrique.
Lorsque le condensateur commence à se décharger dans la bobine, un courant apparaît et crée progressivement un champ magnétique.
À un certain instant, le condensateur est déchargé et l’énergie se trouve essentiellement dans le champ magnétique de la bobine.
Mais le courant ne s’arrête pas immédiatement !
La bobine restitue son énergie et recharge le condensateur avec une polarité inversée.
Le phénomène se reproduit alors dans l’autre sens.
Il apparaît ainsi une oscillation électrique naturelle.
Dans un circuit idéal, sans aucune perte, cette oscillation pourrait se poursuivre indéfiniment.
Dans un circuit réel, la résistance des conducteurs et les différentes pertes dissipent progressivement l’énergie. Les oscillations finissent donc par s’atténuer si aucune énergie extérieure ne vient les entretenir.
La fréquence de ces oscillations est appelée fréquence propre de résonance, notée (f_0).
Elle dépend directement des valeurs de la bobine et du condensateur.
3. La formule de Thomson
La fréquence de résonance d’un circuit LC idéal se calcule à l’aide de la formule de Thomson :
![\[\boxed{f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{L\times C}}}\]](https://www.f5kee.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-56ba2f83f26433875326cc463cab0bd9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dans cette expression :
- (f_0) représente la fréquence de résonance en hertz (Hz).
- (L) représente l’inductance en henrys (H).
- (C) représente la capacité en farads (F).
- (\pi) est la constante mathématique Pi, environ égale à 3,14159.
Cette formule est particulièrement importante en radioélectricité. Elle permet de déterminer la fréquence propre d’un circuit LC à partir de deux valeurs de composants.
Attention aux unités !
Pour utiliser correctement la formule, il faut impérativement convertir les valeurs en henrys et en farads.
Par exemple :
![\[10,\mu H=10\times10^{-6}\ H\]](https://www.f5kee.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a2b2fabbc8f297e00338dc5c9567e4df_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
et :
![\[100,pF=100\times10^{-12}\ F\]](https://www.f5kee.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4a2703dda9fcd1845ab10a00c9234347_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Une erreur de conversion peut entraîner un résultat très éloigné de la fréquence recherchée.
Exemple pratique : calcul d’une fréquence de résonance
Prenons un circuit constitué des composants suivants :
Bobine :
![\[L=10,\mu H\]](https://www.f5kee.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-32aa739b2a8832270c6aa12f3c36e219_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Condensateur :
![\[C=100,pF\]](https://www.f5kee.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-546a07ae6c4b849190b8e065b75f2294_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Après conversion :
![\[L=0,00001\ H\]](https://www.f5kee.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-53c6e41a53ff3ad58af41527dc4d574a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[C=0,0000000001\ F\]](https://www.f5kee.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c6b29bab62d0c3b6fd787c2ddee9b780_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
]
Appliquons la formule :
![\[f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{0,00001\times0,0000000001}}\]](https://www.f5kee.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c77b5e7096caf3b468ebc81b4cfb02f8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Nous obtenons :
![\[f_0\approx5,032,921\ Hz\]](https://www.f5kee.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2386b680e47a7f2a446b364fcb381253_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Soit :
![\[\boxed{f_0\approx5,033\ MHz}\]](https://www.f5kee.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-18c8b786185b1b8a4645a8fb56f4906e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Notre circuit possède donc une fréquence propre d’environ 5,03 MHz.
Nous allons maintenant vérifier ce résultat avec le simulateur.
4. Comment les valeurs de L et C influencent-elles la fréquence ?
La formule de Thomson montre que la fréquence de résonance dépend du produit de l’inductance par la capacité.
Une règle importante doit être retenue :
Lorsque L ou C augmente, la fréquence de résonance diminue.
Inversement, lorsque L ou C diminue, la fréquence augmente.
Prenons quelques exemples :
| Inductance L | Capacité C | Fréquence de résonance |
|---|---|---|
| 10 µH | 100 pF | 5,033 MHz |
| 10 µH | 200 pF | 3,559 MHz |
| 20 µH | 100 pF | 3,559 MHz |
| 40 µH | 100 pF | 2,516 MHz |
| 10 µH | 400 pF | 2,516 MHz |
Nous constatons qu’il est possible d’obtenir une même fréquence avec différentes associations de bobines et de condensateurs.
Autre propriété intéressante :
Si l’on multiplie L ou C par quatre, la fréquence de résonance est divisée par deux.
Cette propriété découle directement de la racine carrée présente dans la formule de Thomson.
Elle est particulièrement utile pour effectuer rapidement des estimations sans calculatrice.
5. Simulateur interactif de la formule de Thomson
Pour mieux comprendre l’influence des composants, nous vous proposons un simulateur permettant de modifier librement les valeurs de L et de C.
Comment utiliser le simulateur ?
Le fonctionnement est volontairement simple.
Étape 1 — Régler l’inductance
Utilisez le curseur correspondant à la bobine pour faire varier son inductance entre 10 nH et 500 µH.
Vous pouvez également saisir directement une valeur au clavier.
Étape 2 — Régler la capacité
Le second curseur permet de faire varier le condensateur entre 10 et 1 000 pF.
Là encore, une saisie manuelle est possible.
Étape 3 — Observer la fréquence de résonance
À chaque modification, le simulateur recalcule automatiquement la fréquence de résonance à l’aide de la formule de Thomson.
Le résultat est affiché en hertz, kilohertz, mégahertz ou gigahertz selon la valeur obtenue.
Étape 4 — Observer le graphique
Le graphique représente une réponse en fréquence théorique, centrée sur la fréquence de résonance calculée.
Il permet de visualiser la position de la résonance et son déplacement lorsque les valeurs des composants changent.
La largeur de cette courbe est fixée à titre pédagogique : elle ne représente pas une mesure réelle du circuit.
Étape 5 — Vérifier le calcul
Sous le graphique, le simulateur présente les différentes étapes du calcul, avec les conversions d’unités.
Vous pouvez ainsi comparer votre propre résultat avec celui du simulateur.
Trois expériences à réaliser
Expérience n° 1 : modifier uniquement le condensateur
Réglez l’inductance sur 10 µH et la capacité sur 100 pF.
Observez la fréquence obtenue.
Augmentez progressivement la capacité jusqu’à 400 pF.
Que constatez-vous ?
La fréquence diminue lorsque la capacité augmente.
Expérience n° 2 : modifier uniquement la bobine
Conservez une capacité de 100 pF.
Faites varier l’inductance entre 10 et 40 µH.
Vous constaterez que la fréquence diminue également.
Expérience n° 3 : doubler simultanément L et C
Commencez avec :
- L = 10 µH.
- C = 100 pF.
Puis choisissez :
- L = 20 µH.
- C = 200 pF.
La fréquence initiale d’environ 5,033 MHz devient environ 2,516 MHz.
Elle a donc été divisée par deux.
Ces expériences permettent de vérifier directement les propriétés de la formule de Thomson.
6. Comprendre la courbe de résonance
Le graphique du simulateur représente une réponse en fréquence normalisée.
Son maximum correspond à la fréquence propre (f_0).
Cependant, la formule de Thomson ne permet pas, à elle seule, de déterminer la largeur ou la hauteur d’une véritable courbe de réponse.
Celles-ci dépendent notamment des pertes, de la résistance du circuit et de la manière dont celui-ci est alimenté ou chargé.
Le facteur de qualité Q
Le facteur de qualité, généralement noté Q, caractérise les pertes d’un circuit résonant.
Dans une réponse résonante passe-bande classique, il est également lié à la sélectivité.
On utilise alors la relation :
![\[Q=\frac{f_0}{\Delta f}\]](https://www.f5kee.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3fbc884155fe810c6e06311e236b0897_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
où :
- (Q) est le facteur de qualité.
- (f_0) est la fréquence centrale.
- (\Delta f) est la largeur de bande entre les deux points à −3 dB.
Plus Q est élevé, plus la réponse est étroite autour de la fréquence centrale.
À l’inverse, un faible facteur de qualité correspond à une réponse plus large.
Comparaison de deux courbes de résonance possédant la même fréquence centrale, mais des facteurs de qualité différents.
Dans notre simulateur, le facteur de qualité est fixé à 10 pour représenter une courbe pédagogique.
Il ne doit donc pas être interprété comme le facteur de qualité réel des composants sélectionnés.
7. À quoi servent les circuits LC en radioamateur ?
Les circuits LC sont présents dans de nombreux équipements utilisés par les radioamateurs.
Les circuits d’accord des récepteurs
Un circuit résonant peut contribuer à sélectionner une fréquence particulière parmi plusieurs signaux reçus par une antenne.
En modifiant la valeur d’un condensateur variable, on déplace la fréquence d’accord du circuit.
Ce principe a été largement utilisé dans les récepteurs radio traditionnels.
Les oscillateurs électroniques
Certains oscillateurs utilisent un circuit LC pour déterminer leur fréquence de fonctionnement.
C’est notamment le cas des oscillateurs de type Colpitts ou Hartley.
Le circuit résonant contribue à fixer la fréquence des oscillations entretenues par un composant actif.
Les filtres radiofréquences
Les associations de bobines et de condensateurs permettent de réaliser différents types de filtres.
Ces circuits peuvent favoriser certaines fréquences et en atténuer d’autres.
On les retrouve notamment dans les étages de réception, les circuits d’adaptation et les filtres d’équipements radio.
Les circuits d’adaptation
Les bobines et condensateurs sont également utilisés pour adapter les impédances entre différents étages d’un équipement ou entre un émetteur et une antenne.
Dans ce cas, le fonctionnement dépend de l’ensemble du réseau et ne se résume pas nécessairement à la seule formule de Thomson.
8. Les limites de la formule de Thomson
La formule de Thomson est parfaitement adaptée à l’étude d’un circuit LC idéal.
Cependant, les composants réels ne sont jamais parfaits.
Une bobine possède une résistance électrique, des capacités parasites et différentes pertes.
Un condensateur présente également des pertes, une résistance série équivalente et des inductances parasites.
Ces phénomènes peuvent modifier le comportement du circuit.
Les connexions, les pistes d’un circuit imprimé et les composants voisins peuvent aussi influencer sa fréquence de fonctionnement.
À haute fréquence, ces effets deviennent particulièrement importants.
Il faut donc considérer la formule de Thomson comme un outil de calcul théorique, très utile pour dimensionner un circuit, mais qui ne remplace pas les mesures sur un montage réel.
9. Ce qu’il faut retenir
Le circuit LC est l’un des montages fondamentaux de la radioélectricité.
Il associe une bobine et un condensateur capables d’échanger de l’énergie entre leurs champs magnétique et électrique.
Sa fréquence propre est déterminée par la formule de Thomson :
![\[\boxed{f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}}\]](https://www.f5kee.fr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-42e4acb705cb96e80f85907124ceec21_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Trois propriétés sont essentielles :
- Augmenter l’inductance diminue la fréquence de résonance.
- Augmenter la capacité diminue également cette fréquence.
- Multiplier L ou C par quatre divise la fréquence par deux.
Le simulateur proposé dans cet article permet de vérifier ces relations et de mieux comprendre le rôle des composants.
N’hésitez pas à expérimenter différentes valeurs de bobines et de condensateurs. C’est une excellente manière de se familiariser avec la résonance, une notion essentielle pour comprendre les circuits radioélectriques et préparer la licence radioamateur.
