Transformateur d’impédance coaxial : stubs et quart d’onde

Lorsque l’on parle de câble coaxial dans une station radioamateur, on pense généralement à la ligne qui relie l’émetteur à l’antenne. Pourtant, un morceau de coaxial correctement calculé peut devenir un véritable composant RF.

En choisissant son impédance et sa longueur électrique, il est possible de l’utiliser pour transformer une impédance, réaliser un stub ou coupler plusieurs antennes. Ces techniques sont particulièrement intéressantes en VHF et UHF, où les longueurs nécessaires restent raisonnables.

Nous avons déjà abordé sur F5KEE la longueur électrique et le coefficient de vélocité des câbles coaxiaux. Nous ne reviendrons donc que brièvement sur ces notions pour nous concentrer sur leur application pratique.

1. Quand un morceau de coaxial devient un composant

À basse fréquence, quelques dizaines de centimètres de fil peuvent généralement être considérés comme une simple connexion. En radiofréquence, ce n’est plus forcément vrai.

Dès que la longueur d’une ligne devient significative par rapport à la longueur d’onde, l’impédance observée à son entrée dépend de sa longueur électrique et de la charge placée à son extrémité.

C’est précisément cette propriété que nous allons exploiter.

Parmi les applications les plus courantes chez les radioamateurs, nous trouvons :

les transformateurs d’impédance quart d’onde ;
les stubs ouverts ou court-circuités ;
les coupleurs de deux ou quatre antennes ;
certains filtres et pièges RF ;
les systèmes de déphasage pour réseaux d’antennes.

Le coaxial n’est donc plus seulement chargé de transporter le signal : sa longueur fait partie du circuit.

2. Le transformateur quart d’onde

L’une des applications les plus simples est le transformateur d’impédance de longueur (\lambda/4).

Une section de ligne quart d’onde placée entre deux impédances permet d’effectuer une transformation selon la relation :

$Z_t=\sqrt{Z_1\times Z_2}$

où :

(Z_t) est l’impédance caractéristique de la section quart d’onde ;
(Z_1) est l’impédance d’un côté ;
(Z_2) est l’impédance de l’autre côté.

Prenons un exemple simple : nous voulons adapter une charge de 100 Ω à une ligne de 50 Ω.

$Z_t=\sqrt{50\times100}$

$Z_t=70,7\ \Omega$

Il faudrait donc idéalement utiliser une section de coaxial de 70,7 Ω et d’une longueur électrique égale à un quart d’onde.

Cette impédance n’étant pas courante, un câble de 75 Ω constitue souvent une approximation suffisamment bonne pour de nombreuses réalisations radioamateurs.

3. Calculer la longueur du quart d’onde

Pour une fréquence exprimée en MHz, la longueur d’onde dans l’air est approximativement :

$\lambda=\frac{300}{f}$

Pour obtenir la longueur physique de notre section quart d’onde, il faut appliquer le coefficient de vélocité (VF) du câble :

$L_{\lambda/4}=\frac{75}{f}\times VF$

Prenons une réalisation destinée à 145 MHz avec un câble possédant un coefficient de vélocité de 0,66 :

$L_{\lambda/4}=\frac{75}{145}\times0,66$

$L_{\lambda/4}\approx0,341\ m$

Il nous faut donc environ 34,1 cm de câble.

Cette valeur constitue cependant un point de départ. Dans une réalisation réelle, les connecteurs, les raccordements et les caractéristiques exactes du câble introduisent quelques différences. Pour une réalisation précise, il est préférable de couper légèrement plus long puis d’effectuer l’ajustement à l’analyseur d’antenne ou au VNA.

4. Adapter deux antennes de 50 Ω

Voici une application particulièrement intéressante : le couplage de deux antennes identiques.

Supposons deux antennes Yagi présentant chacune une impédance de 50 Ω.

Si nous les raccordons simplement en parallèle :

$Z=\frac{50}{2}=25\ \Omega$

Notre émetteur et notre ligne principale étant prévus pour 50 Ω, cette solution n’est évidemment pas satisfaisante.

Nous pouvons cependant transformer l’impédance de chaque antenne avant leur mise en parallèle.

L’objectif est que chaque branche présente 100 Ω au point de jonction, car :

$100\parallel100=50\ \Omega$

Pour transformer les 50 Ω de chaque antenne en 100 Ω, nous calculons :

$Z_t=\sqrt{50\times100}$

soit :

$Z_t=70,7\ \Omega$

Nous pouvons donc utiliser, sur chacune des deux antennes, une section quart d’onde réalisée avec du coaxial voisin de 75 Ω.

Le principe devient :

Antenne 50 Ω → λ/4 en 75 Ω → environ 100 Ω

et :

Antenne 50 Ω → λ/4 en 75 Ω → environ 100 Ω

Les deux sorties sont ensuite mises en parallèle :

$100\parallel100=50\ \Omega$

Nous obtenons ainsi un système adapté à notre ligne principale de 50 Ω.

5. Pourquoi utilise-t-on souvent du câble 75 Ω ?

On pourrait se demander pourquoi utiliser du câble destiné à la télévision ou à la vidéo dans une installation radioamateur en 50 Ω.

La réponse apparaît immédiatement avec notre calcul précédent : 75 Ω est très proche des 70,7 Ω théoriques nécessaires à certaines transformations entre 50 et 100 Ω.

Avec une véritable ligne 75 Ω, la transformation d’une charge de 50 Ω par un quart d’onde donne :

$Z_{entrée}=\frac{75^2}{50}$

$Z_{entrée}=112,5\ \Omega$

Deux branches identiques en parallèle donnent alors :

$Z=\frac{112,5}{2}=56,25\ \Omega$

Ce n’est pas exactement 50 Ω, mais cela reste une adaptation tout à fait exploitable dans de nombreuses installations.

Le ROS théorique correspondant à 56,25 Ω sur une ligne de 50 Ω n’est que d’environ :

$ROS=\frac{56,25}{50}=1,125$

soit environ 1,13:1.

6. Coupler quatre antennes

Le même principe peut être étendu à quatre antennes.

Une méthode particulièrement simple consiste à réaliser le couplage en deux étages.

Nous constituons d’abord deux groupes de deux antennes :

Antenne 1 + Antenne 2 → coupleur → 50 Ω

Antenne 3 + Antenne 4 → coupleur → 50 Ω

Nous disposons alors de deux ensembles présentant chacun 50 Ω.

Il suffit ensuite de réaliser un second étage de couplage suivant exactement le même principe pour obtenir une sortie finale voisine de 50 Ω.

Cette architecture est couramment utilisée dans les groupements d’antennes VHF et UHF.

Mais une nouvelle notion devient alors fondamentale : la phase.

7. Même longueur électrique, même phase

Lorsque plusieurs antennes sont couplées, il ne suffit pas d’obtenir la bonne impédance.

Les signaux doivent également arriver avec la phase souhaitée au point de couplage.

Si deux antennes identiques doivent rayonner en phase, les lignes qui les alimentent doivent présenter des longueurs électriques identiques, sauf lorsqu’un déphasage volontaire est recherché.

Quelques centimètres d’écart peuvent paraître insignifiants en HF, mais deviennent importants en UHF.

À 435 MHz, la longueur d’onde dans l’air n’est plus que d’environ :

$\lambda=\frac{300}{435}\approx0,69\ m$

soit 69 cm.

Un écart de quelques centimètres entre deux lignes représente donc déjà une fraction non négligeable de la longueur d’onde.

Lors de la réalisation d’un coupleur pour plusieurs antennes, il faut par conséquent couper les lignes avec soin et utiliser le même type de coaxial pour les différentes branches.

8. Le stub : un morceau de coaxial qui ne va nulle part ?

Autre utilisation étonnante du coaxial : le stub.

Il s’agit d’une section de ligne raccordée au circuit, mais dont l’autre extrémité peut être laissée ouverte ou court-circuitée.

À première vue, l’idée semble étrange. Pourtant, en RF, cette section de câble présente au point de raccordement une impédance qui dépend directement de sa longueur électrique.

Un stub peut notamment servir à :

compenser une réactance ;
réaliser une adaptation d’impédance ;
créer un piège à une fréquence donnée ;
réaliser certains filtres ;
éliminer ou atténuer une fréquence indésirable.

Le cas du quart d’onde est particulièrement intéressant.

9. Le quart d’onde inverse les impédances

Une propriété remarquable d’une ligne quart d’onde est sa capacité à transformer une impédance très faible en impédance très élevée, et inversement.

Prenons un stub quart d’onde court-circuité à son extrémité.

À l’extrémité :

$Z=0\ \Omega$

Mais un quart d’onde plus loin, à son entrée, l’impédance devient théoriquement infinie.

Autrement dit :

court-circuit → λ/4 → circuit ouvert

L’inverse est également vrai :

circuit ouvert → λ/4 → court-circuit

Bien entendu, dans une réalisation réelle, les pertes empêchent d’obtenir zéro ohm ou une impédance réellement infinie. Le principe reste néanmoins parfaitement exploitable.

Cette propriété permet notamment de réaliser des pièges et des filtres extrêmement simples.

10. Et avec une demi-onde ?

La ligne demi-onde possède une autre propriété remarquable.

Après une longueur électrique de (\lambda/2), nous retrouvons théoriquement la même impédance qu’à l’extrémité de la ligne.

Ainsi, si une antenne présente 50 Ω et que nous insérons exactement une demi-onde électrique de coaxial, nous retrouverons 50 Ω à l’autre extrémité, en négligeant les pertes.

Cette propriété peut être utilisée lors de certaines mesures ou lorsqu’on souhaite reproduire l’impédance d’une charge à distance.

11. Attention à la bande passante

Le principal inconvénient de ces adaptations est qu’elles sont dépendantes de la fréquence.

Une section calculée pour être exactement λ/4 à 145 MHz ne sera plus exactement λ/4 à 130 MHz ou à 160 MHz.

Ces systèmes sont donc particulièrement adaptés aux installations fonctionnant sur une bande relativement étroite.

C’est rarement un problème pour une Yagi 144 MHz ou 432 MHz destinée à une portion limitée de la bande, mais cela devient beaucoup plus contraignant lorsqu’on souhaite couvrir une large plage de fréquences.

12. La pratique est un peu différente de la calculatrice

Les formules permettent de déterminer une excellente longueur de départ, mais la réalisation doit tenir compte de plusieurs paramètres :

Le coefficient de vélocité réel. La valeur indiquée par le constructeur peut présenter une certaine tolérance.

Les connecteurs. Une fiche N, BNC ou PL-259 possède elle aussi une longueur électrique.

Les raccordements. Un T, une petite longueur de conducteur ou un boîtier de couplage modifient légèrement le système.

La fréquence réelle d’utilisation. Une antenne destinée au 144 MHz n’est pas forcément utilisée exactement à 145,000 MHz.

Les tolérances de coupe. Elles deviennent particulièrement importantes lorsque la fréquence augmente.

Pour cette raison, il est généralement judicieux de couper les sections légèrement plus longues que la valeur calculée et de les ajuster progressivement.

Un NanoVNA constitue aujourd’hui un outil particulièrement pratique pour cette opération.

13. Quelques longueurs pour se faire une idée

Pour un câble présentant un coefficient de vélocité de 0,66 :

Fréquence	λ/4 électrique dans le coaxial
14,2 MHz	3,49 m
28,5 MHz	1,74 m
50 MHz	99 cm
145 MHz	34,1 cm
435 MHz	11,4 cm
1296 MHz	3,82 cm

On comprend immédiatement pourquoi les transformateurs et stubs coaxiaux sont particulièrement séduisants en VHF et UHF.

À 145 MHz, une section quart d’onde tient facilement dans un petit coffret ou le long d’un mât. À 435 MHz, elle ne mesure plus qu’une dizaine de centimètres.

À 1296 MHz, en revanche, les dimensions deviennent tellement faibles que la précision de réalisation, les connecteurs et les raccordements prennent une importance considérable.

14. Fabriquer une ligne coaxiale d’impédance non standard

Dans les exemples précédents, nous avons vu qu’un transformateur quart d’onde peut nécessiter une impédance caractéristique qui ne correspond pas forcément aux valeurs habituelles de 50 Ω ou 75 Ω.

La relation :

$Z_t=\sqrt{Z_1\times Z_2}$

peut très bien nous conduire à rechercher une ligne de 60 Ω, 70,7 Ω, 84 Ω ou toute autre valeur.

Il est alors possible de fabriquer soi-même une ligne coaxiale rigide, constituée d’un conducteur central placé au centre d’un tube conducteur. En choisissant correctement les deux diamètres et le diélectrique, nous pouvons obtenir pratiquement l’impédance caractéristique désirée.

L’impédance d’une ligne coaxiale

Impédance d'une ligne coaxiale

L’impédance caractéristique d’une ligne coaxiale dépend principalement de trois paramètres :

le diamètre extérieur (d) du conducteur central ;
le diamètre intérieur (D) du conducteur extérieur ;
la permittivité relative (\varepsilon_r) du diélectrique situé entre les deux conducteurs.

Pour une ligne coaxiale homogène, nous pouvons utiliser :

$Z_0=\frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}}\ln\left(\frac{D}{d}\right)$

ou, avec le logarithme décimal :

$Z_0=\frac{138}{\sqrt{\varepsilon_r}}\log_{10}\left(\frac{D}{d}\right)$

avec :

(Z_0) : impédance caractéristique en ohms ;
(D) : diamètre intérieur du conducteur extérieur ;
(d) : diamètre extérieur du conducteur central ;
(\varepsilon_r) : permittivité relative du diélectrique.

Il est important de remarquer que ce sont les diamètres des surfaces qui se font face qui interviennent dans le calcul. Pour un tube extérieur, on utilise donc son diamètre intérieur et non son diamètre extérieur.

Le cas particulièrement intéressant de la ligne à air

Pour une réalisation radioamateur, la solution la plus simple consiste souvent à utiliser l’air comme diélectrique.

Pour l’air :

$\varepsilon_r\approx1$

La formule se simplifie alors considérablement :

$Z_0=60\ln\left(\frac{D}{d}\right)$

La valeur absolue des diamètres n’est pas ce qui détermine directement l’impédance : c’est surtout leur rapport (D/d).

C’est une propriété très pratique. Une ligne utilisant une âme de 4 mm et un tube intérieur de 13 mm peut présenter pratiquement la même impédance qu’une ligne beaucoup plus grosse respectant le même rapport entre les deux diamètres.

Calculer le diamètre du tube extérieur

Supposons que nous disposions déjà du conducteur central et que nous cherchions le diamètre intérieur du tube extérieur.

À partir de :

$Z_0=\frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}}\ln\left(\frac{D}{d}\right)$

nous pouvons écrire :

$D=d\times e^{\frac{Z_0\sqrt{\varepsilon_r}}{60}}$

Pour une ligne à air :

$D=d\times e^{Z_0/60}$

Prenons l’exemple de notre transformateur quart d’onde de 70,7 Ω.

Nous disposons d’une tige de cuivre de :

$d=4\ mm$

Nous recherchons donc :

$D=4\times e^{70,7/60}$

ce qui donne approximativement :

$D\approx13,0\ mm$

Un tube métallique présentant un diamètre intérieur voisin de 13 mm, associé à une âme centrale de 4 mm, permet donc de réaliser une ligne à air d’environ 70,7 Ω.

Et si nous connaissons le diamètre du tube ?

Nous pouvons naturellement effectuer le calcul inverse.

Si nous disposons d’un tube de diamètre intérieur (D) et recherchons le diamètre du conducteur central :

$d=\frac{D}{e^{\frac{Z_0\sqrt{\varepsilon_r}}{60}}}$

Pour une ligne à air :

$d=\frac{D}{e^{Z_0/60}}$

Cela permet de partir des tubes de cuivre, d’aluminium ou de laiton disponibles dans l’atelier et de déterminer le diamètre de l’âme centrale nécessaire.

Quelques rapports utiles pour une ligne à air

Le tableau suivant donne une idée des rapports de diamètres nécessaires :

Impédance	Rapport D/d approximatif
25 Ω	1,52
35 Ω	1,79
50 Ω	2,30
60 Ω	2,72
70,7 Ω	3,25
75 Ω	3,49
100 Ω	5,29

Ainsi, pour réaliser une ligne à air de 50 Ω avec une âme de 4 mm, il faut un diamètre intérieur d’environ :

$D=4\times2,30=9,2\ mm$

Pour 75 Ω :

$D=4\times3,49\approx14,0\ mm$

Et pour notre ligne de 70,7 Ω :

$D=4\times3,25\approx13,0\ mm$

Ces valeurs montrent qu’il est relativement facile de réaliser des impédances inhabituelles avec des tubes et des tiges métalliques de dimensions courantes.

Le diélectrique change complètement le calcul

Une ligne coaxiale n’est cependant pas obligatoirement remplie d’air.

Si nous utilisons un matériau isolant entre les deux conducteurs, sa permittivité relative intervient directement dans le calcul.

À titre indicatif :

Matériau	εr approximatif
Air	1,0
PTFE	2,0 à 2,1
Polyéthylène	2,25 à 2,3
PVC	3 à 4 selon formulation

Ces valeurs restent indicatives : pour une réalisation précise, il faut utiliser les caractéristiques fournies par le fabricant.

Attention également à un détail important : quelques petites entretoises en PTFE maintenant l’âme au centre d’une ligne principalement remplie d’air ne signifient pas que toute la ligne possède un (\varepsilon_r) de 2,1. Nous sommes alors en présence d’un diélectrique non homogène et la permittivité effective reste beaucoup plus proche de celle de l’air.

Comment maintenir l’âme parfaitement au centre ?

C’est l’une des difficultés pratiques de la réalisation.

Le conducteur central doit rester aussi concentrique que possible avec le tube extérieur. S’il se rapproche d’une paroi, la géométrie de la ligne change et son impédance caractéristique également.

On peut réaliser de petites entretoises isolantes en :

PTFE ;
polyéthylène ;
matériaux plastiques adaptés aux RF.

Ces entretoises doivent idéalement occuper le moins de volume possible afin que la majeure partie de la ligne conserve l’air comme diélectrique.

L’impression 3D peut également permettre de fabriquer des supports de centrage pour des expérimentations, mais il faut garder à l’esprit que les caractéristiques diélectriques et les pertes de certains filaments sont mal connues et deviennent de plus en plus importantes lorsque la fréquence augmente.

Une solution particulièrement intéressante en VHF et UHF

La fabrication d’une ligne coaxiale rigide devient particulièrement intéressante lorsque nous devons réaliser un transformateur quart d’onde avec une impédance inhabituelle.

À 145 MHz, une section quart d’onde reste suffisamment grande pour être construite avec du tube de cuivre ou d’aluminium.

À 435 MHz, les dimensions deviennent encore plus compactes et permettent facilement d’intégrer la ligne dans un petit boîtier métallique.

Nous pouvons ainsi construire un coupleur d’antennes dans lequel les sections de transformation ne sont plus réalisées avec du câble coaxial commercial de 75 Ω, mais avec des lignes rigides calculées exactement pour l’impédance recherchée.

Ne pas oublier la longueur de la ligne

Calculer les diamètres permet d’obtenir l’impédance caractéristique désirée, mais il reste naturellement à calculer sa longueur.

Pour une ligne quart d’onde :

$L=\frac{75}{f}\times VF$

avec (f) en MHz.

Pour une ligne coaxiale essentiellement remplie d’air :

$VF\approx1$

La longueur physique est donc proche du quart d’onde dans l’air.

À 145 MHz :

$L\approx\frac{75}{145}$

soit environ :

$L\approx51,7\ cm$

Cette valeur est sensiblement supérieure aux quelque 34 cm obtenus avec un coaxial en polyéthylène possédant un coefficient de vélocité de 0,66.

Les entretoises, connecteurs et discontinuités aux extrémités peuvent toutefois modifier légèrement la longueur électrique réelle. Comme toujours en RF, le calcul donne la dimension de départ et la mesure permet d’effectuer l’ajustement final.

Une ligne sur mesure avec quelques morceaux de métal

Cette technique montre une nouvelle fois qu’une ligne de transmission peut devenir un véritable composant RF.

Avec un tube métallique, une tige conductrice centrale et quelques entretoises isolantes, il est possible de fabriquer une ligne présentant une impédance caractéristique pratiquement quelconque.

C’est particulièrement intéressant pour les transformateurs quart d’onde et les coupleurs d’antennes, lorsque le calcul conduit à une impédance que nous ne pouvons pas obtenir directement avec un câble coaxial commercial.

Et contrairement à une adaptation réalisée avec une valeur approchée de coaxial disponible dans le commerce, la géométrie d’une ligne rigide peut être calculée spécifiquement pour l’impédance dont nous avons réellement besoin.

15. Calculateur d’impédance caractéristique d’une ligne coaxiale

16. Ce qu’il faut retenir

Une ligne coaxiale n’est pas nécessairement un simple moyen de transporter un signal RF entre un émetteur et une antenne. Dès que sa longueur devient significative par rapport à la longueur d’onde, elle peut devenir un véritable composant du système d’adaptation.

En choisissant correctement son impédance caractéristique et sa longueur électrique, une section de coaxial permet de transformer une impédance. Le cas le plus connu est celui du transformateur quart d’onde, dont l’impédance caractéristique nécessaire se calcule avec :

$Z_t=\sqrt{Z_1\times Z_2}$

Cette technique permet notamment de réaliser des adaptations simples et efficaces pour coupler deux ou quatre antennes identiques. Dans un groupement d’antennes, il faut cependant garder à l’esprit que l’impédance n’est pas le seul paramètre important : les longueurs électriques des différentes branches déterminent également la phase avec laquelle les antennes seront alimentées.

Les stubs exploitent les mêmes propriétés des lignes de transmission. Ouverts ou court-circuités et correctement dimensionnés, ils peuvent servir à réaliser une adaptation, compenser une réactance, créer un réjecteur, supprimer une harmonique ou participer à la réalisation d’un filtre RF. Un simple morceau de coaxial peut donc se comporter comme un véritable composant réactif.

Lorsque le calcul d’une adaptation conduit à une impédance inhabituelle — 60 Ω, 70,7 Ω, 84 Ω ou toute autre valeur — nous ne sommes pas obligatoirement limités aux câbles coaxiaux commerciaux de 50 ou 75 Ω.

Il est possible de fabriquer une ligne coaxiale rigide sur mesure. Son impédance dépend essentiellement du rapport entre le diamètre intérieur (D) du conducteur extérieur, le diamètre (d) du conducteur central et la permittivité du diélectrique :

$Z_0=\frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}}\ln\left(\frac{D}{d}\right)$

Avec une ligne à air, le calcul devient particulièrement simple et permet de réaliser assez facilement des sections d’impédance non standard à partir de tubes et de tiges métalliques.

Il faut donc retenir deux paramètres fondamentaux :

la longueur de la ligne détermine son comportement électrique à une fréquence donnée, tandis que sa géométrie et son diélectrique déterminent son impédance caractéristique.

Les calculs donnent cependant des valeurs théoriques. Dans une réalisation réelle, le coefficient de vélocité, les connecteurs, les raccordements, les entretoises et les tolérances mécaniques modifient légèrement le résultat.

La bonne méthode consiste donc à calculer, construire, mesurer puis ajuster. Avec un analyseur d’antenne ou un NanoVNA, cette démarche est aujourd’hui facilement accessible au radioamateur.

Finalement, quelques morceaux de coaxial, de tube ou de tige de cuivre correctement dimensionnés permettent de réaliser des transformateurs d’impédance, coupleurs d’antennes, stubs et adaptations RF qui auraient autrefois nécessité des composants ou des équipements beaucoup plus complexes.