Formation à l'examen : notations des tensions - Radio-Club de Viry-Châtillon (91)

Formation à l’examen : notations des tensions

par F5FOD, Jean-Pierre Waymel

Reprenons le schéma de la causerie précédente, avec une résistance supplémentaire :

Les gros points noirs ne servent qu'à bien marquer les points A, B, C et D.
E est la force électromotrice de la batterie, r sa résistance interne.
E = 12 V.
r = 1 Ω (ce n'est qu'un exemple).
R1 = 2 Ω.
R2 = 3 Ω.

Le courant I part du « ++ », traverse r, R1 et R2 puis revient au pôle « − » de la batterie.
Les tensions aux bornes des trois résistances sont représentées par des flèches orientées en sens inverse par rapport à la flèche du courant : u, U1 et U2.

En partant du point D, donc du pôle « − » de la batterie, nous pouvons construire une « grande flèche » avec les flèches U2, U1 et u, grande flèche dont la pointe arriverait au point A, donc au « ++ ».
Cette grande flèche tourne bien en sens inverse de la flèche I.
Remarquons aussi que le point D de départ de la grande flèche et le point A de sa pointe sont identiques à ceux de la flèche E.

Dit autrement et en termes beaucoup plus simples :

$\boldsymbol{E={{U}_{2}}+{{U}_{1}}+u}$

ce qui est logique car les résistances R2, R1 et r étant connectées en série, les tensions à leurs bornes s'ajoutent.

La résistance R équivalente à ces trois résistances connectées en série vaut :

$\boldsymbol{R={{R}_{2}}+{{R}_{1}}+r}$

ce qui permet de calculer le courant I grâce à la loi d'Ohm :

$\boldsymbol{I=\frac{E}{R}=\frac{E}{{{{R}_{2}}+{{R}_{1}}+r}}=\frac{{12}}{{3+2+1}}=2 \textbf{ A}}$

puis les tensions aux bornes de chacune des trois résistances :

$\boldsymbol{{{U}_{2}}={{R}_{2}}I=3\times 2=6 \textbf{ V}\qquad \: {{U}_{1}}={{R}_{1}}I=2\times 2=4 \textbf{ V}}$

et :

$\boldsymbol{u=rI=1\times 2=2 \textbf{ V}}$

On peut vérifier que la somme de ces trois tensions est bien égale aux 12 V de la batterie.

Schéma avec les valeurs numériques :

Enfin, dessinons le même schéma mais en plaçant les trois résistances sur une même verticale :

Il apparaît encore plus clairement que la somme des tensions aux bornes des résistances est égale à la force électromotrice de la batterie. Il suffit de repenser à l'analogie altitudes <=> tensions : D est au pied de la montagne, C et B sont des refuges intermédiaires et A est le sommet !

Schéma avec les valeurs numériques :

Une notation des tensions
Pour qu'il n'y ait aucune ambiguïté sur le signe d'une tension, on utilise la notation suivante :

$\boldsymbol{u={{V}_{{{A}/{B}\;}}}}$

qui se lit « V de A par rapport à B".
Attention : ici, la barre « / » et l'expression « par rapport à » ne signifient pas « division par ». On verra un peu plus loin qu'il s'agit… d'une soustraction !

De même :

$\boldsymbol{{{U}_{1}}={{V}_{{{B}/{C}\;}}} \qquad \: {{U}_{2}}={{V}_{{{C}/{D}\;}}} \qquad \: E={{V}_{{{A}/{D}\;}}}}$

Reprenons l'expression :

$\boldsymbol{E=u+{{U}_{1}}+{{U}_{2}}}$

et utilisons la nouvelle notation :

(1) $\begin{equation*} \boxed{\boldsymbol{{{V}_{{{A}/{D}\;}}}={{V}_{{{A}/{B}\;}}}+{{V}_{{{B}/{C}\;}}}+{{V}_{{{C}/{D}\;}}}}} \end{equation*}$

Examinons cette expression de plus près :

Cette figure met en évidence le chaînage des tensions. Et ce principe de chaînage est général : on peut insérer autant de points intermédiaires que souhaités.
Avec cette notation, impossible de se tromper !

Très important :

(2) $\begin{equation*} \boxed{\boldsymbol{{{V}_{{{A}/{B}\;}}}=-{{V}_{{{B}/{A}\;}}}}} \end{equation*}$

la mer étant à −4810 m d'altitude par rapport au sommet du mont Blanc !

Applications
Exemple 1 :

$\boldsymbol{{{V}_{{{B}/{D}\;}}}={{V}_{{{B}/{C}\;}}}+{{V}_{{{C}/{D}\;}}}={{U}_{1}}+{{U}_{2}}=4+6=10\textbf{ V}}$

Exemple 2 :

$\boldsymbol{{{V}_{{{C}/{A}\;}}}={{V}_{{{C}/{B}\;}}}+{{V}_{{{B}/{A}\;}}}=-{{V}_{{{B}/{C}\;}}}-{{V}_{{{A}/{B}\;}}}=-{{U}_{1}}-u=-4-2=-6\textbf{ V}}$

Une autre notation des tensions
Il est parfois pratique d'utiliser une autre notation pour les tensions, sous forme d'une différence :

(3) $\begin{equation*} \boxed{\boldsymbol{{{V}_{{{A}/{B}\;}}}={{V}_{A}}-{{V}_{B}}}} \end{equation*}$

Recalculons le membre de droite de l'expression (1) :

$\boldsymbol{{{V}_{{{A}/{B}\;}}}+{{V}_{{{B}/{C}\;}}}+{{V}_{{{C}/{D}\;}}}=({{V}_{A}}-{{V}_{B}})+({{V}_{B}}-{{V}_{C}})+({{V}_{C}}-{{V}_{D}})}$

soit :

$\boldsymbol{{{V}_{{{A}/{B}\;}}}+{{V}_{{{B}/{C}\;}}}+{{V}_{{{C}/{D}\;}}}={{V}_{A}}-{{V}_{B}}+{{V}_{B}}-{{V}_{C}}+{{V}_{C}}-{{V}_{D}}}$

ou :

$\boldsymbol{{{V}_{{{A}/{B}\;}}}+{{V}_{{{B}/{C}\;}}}+{{V}_{{{C}/{D}\;}}}={{V}_{A}}-{{V}_{D}}={{V}_{{{A}/{D}\;}}}}$

On retrouve bien l'expression (1) dans sa totalité.

Loi d'Ohm avec les nouvelles notations

Le courant I allant de A vers B, nous pouvons maintenant écrire la loi d'Ohm de la façon suivante :

(4) $\begin{equation*} \boxed{\boldsymbol{U={{V}_{{{A}/{B}\;}}}={{V}_{A}}-{{V}_{B}}=R{{I}_{{A\to B}}}}} \end{equation*}$

Les différentes tensions selon le point de référence choisi
Choisissons un point de référence (D, C, B ou A) et calculons les différentes tensions par rapport à ce point.

Référence : le point D

$\boldsymbol{{{V}_{{{C}/{D}\;}}}={{U}_{2}}=6\textbf{ V}}$

Utilisons la propriété (1) :

$\boldsymbol{{{V}_{{{B}/{D}\;}}}={{V}_{{{B}/{C}\;}}}+{{V}_{{{C}/{D}\;}}}={{U}_{1}}+{{U}_{2}}=4+6=10\textbf{ V}}$

$\boldsymbol{{{V}_{{{A}/{D}\;}}}={{V}_{{{A}/{B}\;}}}+{{V}_{{{B}/{C}\;}}}+{{V}_{{{C}/{D}\;}}}=u+{{U}_{1}}+{{U}_{2}}=2+4+6=12\textbf{ V}}$

Référence : le point C

$\boldsymbol{{{V}_{{{B}/{C}\;}}}={{U}_{1}}=4\textbf{ V}}$

Utilisons la propriété (1) :

$\boldsymbol{{{V}_{{{A}/{C}\;}}}={{V}_{{{A}/{B}\;}}}+{{V}_{{{B}/{C}\;}}}=u+{{U}_{1}}=2+4=6\textbf{ V}}$

ou la propriété 2 :

$\boldsymbol{{{V}_{{{D}/{C}\;}}}=-{{V}_{{{C}/{D}\;}}}=-{{U}_{2}}=-6\textbf{ V}}$

Référence : le point B

$\boldsymbol{{{V}_{{{A}/{B}\;}}}=u=2\textbf{ V}}$

Utilisons la propriété (2) :

$\boldsymbol{{{V}_{{{C}/{B}\;}}}=-{{V}_{{{B}/{C}\;}}}=-{{U}_{1}}=-4\textbf{ V}}$

ou les propriétés (1) et (2) :

$\boldsymbol{{{V}_{{{D}/{B}\;}}}={{V}_{{{D}/{C}\;}}}+{{V}_{{{C}/{B}\;}}}=-{{V}_{{{C}/{D}\;}}}-{{V}_{{{B}/{C}\;}}}=-{{U}_{2}}-{{U}_{1}}=-6-4=-10\textbf{ V}}$