Lignes de transmission : en sinusoïdal

par F5FOD, Jean-Pierre Waymel

Nous allons maintenant considérer que le générateur G délivre un signal sinusoïdal de fréquence $\boldsymbol{F}$ , en hertz, et donc de pulsation $\boldsymbol{\omega =2\pi F}$ , en radians/seconde, et que la ligne n'a pas de pertes.

On démontre que la solution de l'équation des télégraphistes concernant la tension le long de la ligne est alors la suivante :

(1) $\begin{equation*} \boxed{\boldsymbol{v(x,t)={{V}_{d}}\cos (\omega t-\beta x+{{\varphi }_{d}})+{{V}_{r}}\cos (\omega t+\beta x+{{\varphi }_{r}})}} \end{equation*}$

Euh… pas de panique, nous allons en expliquer chaque terme !

$\boldsymbol{v(x,t)}$ désigne la tension sur la ligne, à $\boldsymbol{x}$ mètres du générateur G. Par exemple, à 53 cm, $\boldsymbol{x=0,53}$ . Et $\boldsymbol{t}$ désigne le temps… qui passe (en secondes) !

On retrouve à droite du signe « $\boldsymbol{=}$ » et par 2 fois et $\boldsymbol{t}$ et $\boldsymbol{x}$ qui sont les 2 variables de l'expression de la tension.

$\boldsymbol{{{V}_{d}}}$ et $\boldsymbol{{{V}_{r}}}$ sont 2 tensions constantes (en volts) pour un générateur G et pour une charge terminale Zt donnés. Autrement dit, elles ne varient pas quand $\boldsymbol{t}$ et/ou $\boldsymbol{x}$ varie(nt).

$\boldsymbol{{{\varphi }_{d}}}$ et $\boldsymbol{{{\varphi }_{r}}}$ sont 2 angles constants (en radians) pour un générateur G et pour une charge terminale Zt donnés. Autrement dit, ils ne varient pas non plus quand $\boldsymbol{t}$ et/ou $\boldsymbol{x}$ varie(nt).

Enfin $\boldsymbol{\beta}$ est la constante de propagation. Elle est égale à $\boldsymbol{\omega \sqrt{{LC}}}$ . Rappelons que $\boldsymbol{L}$ et $\boldsymbol{C}$ sont respectivement l'inductance et la capacité linéiques de la ligne. Sa résistance $\boldsymbol{R}$ et son admittance $\boldsymbol{G}$ n'apparaissent pas dans l'expression de $\boldsymbol{v(x,t)}$ car leurs valeurs sont nulles, la ligne étant considérée sans pertes.

Un dernier mot pour $\boldsymbol{\cos()}$ : il s'agit de la fonction cosinus. Selon la valeur du nombre calculé entre les parenthèses, ce cosinus prendra une valeur comprise entre (et y compris) +1 et -1, comme tout bon cosinus !

Les présentations étant faites, constatons maintenant que l'expression de la tension le long de la ligne est une addition de 2 termes similaires mais avec 1 différence de signe :

$\boldsymbol{v(x,t)={{v}_{d}}(x,t)+{{v}_{r}}(x,t)}$

où

$\boldsymbol{{{v}_{d}}(x,t)={{V}_{d}}\cos (\omega t-\beta x+{{\varphi }_{d}}) \qquad {{v}_{r}}(x,t)={{V}_{r}}\cos (\omega t+\beta x+{{\varphi }_{r}})}$

On démontre que $\boldsymbol{{{v}_{d}}(x,t)}$ est une onde sinusoïdale de tension qui se propage du générateur G vers la charge terminale Zt. C'est pour cela qu'elle est appelée « onde directe » ou « onde incidente ».
La vitesse de propagation de cette onde est appelée « vitesse de phase » :

(2) $\begin{equation*} \boxed{\boldsymbol{{{v}_{\varphi }}=\frac{1}{{\sqrt{{LC}}}}}} \end{equation*}$

On démontre aussi que $\boldsymbol{{{v}_{r}}(x,t)}$ est également une onde sinusoïdale de tension mais qui se propage dans l'autre sens : de la charge terminale Zt vers le générateur G. C'est pour cela qu'elle est appelée « onde réfléchie ».
La vitesse de propagation de cette onde est la même que celle de l'onde directe.

On démontre enfin que la solution de l'équation des télégraphistes concernant le courant dans la ligne est la suivante :

(3) $\begin{equation*} \boxed{\boldsymbol{i(x,t)=\frac{1}{{{{Z}_{c}}}}\left[ {{{V}_{d}}\cos (\omega t-\beta x+{{{{\varphi }}}_{d}})-{{V}_{r}}\cos (\omega t+\beta x+{{{{\varphi }}}_{r}})} \right]}} \end{equation*}$