Formation à l'examen : énergie, puissance, cas de la résistance - Radio-Club de Viry-Châtillon (91)

Formation à l’examen : énergie, puissance, cas de la résistance

par F5FOD, Jean-Pierre Waymel

Qu'est-ce que l'énergie ?
Selon Wikipedia :
L’énergie est un concept relié à ceux d'action, de force et de durée : la mise en œuvre d'une action nécessite de maintenir une certaine force pendant une durée suffisante pour vaincre les inerties et résistances qui s'opposent à ce changement. L'énergie qui aura été nécessaire pour accomplir finalement l'action envisagée rend compte à la fois de la force et de la durée pendant laquelle elle aura été exercée.

L'inertie : en simplifiant, l'inertie d'un corps est sa tendance à conserver sa vitesse ; en l'absence d'influence extérieure, tout corps ponctuel perdure dans un mouvement rectiligne uniforme. Si cette vitesse était nulle, elle reste nulle.

Quelles sont les différentes formes de l'énergie ?
Empruntons le tableau suivant à l'excellent site de Carol Eicher et André Mousset, science.lu :

Porteur d'énergie	Forme d'énergie
Corps en mouvement (voiture en mouvement, vent)	Énergie cinétique
Corps situé à une certaine altitude (eau retenue par un barrage)	Énergie potentielle de pesanteur
Corps élastique déformé (ressort comprimé)	Énergie (potentielle) élastique
Corps chargé électriquement (nuage orageux)	Énergie électrique
Corps chaud (radiateur, flamme)	Énergie calorifique (ou énergie thermique)
Pile/accumulateur électrique	Énergie chimique
Onde électromagnétique (rayonnement solaire, micro-ondes)	Énergie rayonnante
Noyau d'uranium, noyau d'hydrogène	Énergie nucléaire
Tout corps de masse m	Énergie de masse, d'après Albert Einstein : E = mc2, c étant la vitesse de la lumière

Énergie : cas de la résistance en courant continu
Soit une résistance R connectée à une source de tension continue U et parcourue par un courant continu I.
L'énergie électrique fournie par cette source pendant un temps t se transforme dans la résistance en énergie thermique E (loi de Joule) de la façon suivante :

(1) $\begin{equation*} \boxed{\boldsymbol{E=UIt}} \end{equation*}$

La tension continue U étant exprimée en volts, le courant continu I en ampères et le temps t en secondes, l'énergie E est alors exprimée en joules (J).

Exemple
U = 12 V
I = 2 A
t = 1 h soit 3600 s
E = 12 × 2 × 3600 = 86400 J = 86,4 kJ.

Appliquons maintenant la loi d'Ohm à notre résistance R :

$\boldsymbol{U=RI}$

Dans l'expression (1), remplaçons U par sa valeur :

$\boldsymbol{E=UIt=(RI)It=R{{I}^{2}}t}}$

Mais la loi d'Ohm appliquée à notre résistance R peut aussi s'écrire :

$\boldsymbol{I=\frac{U}{R}}}$

Dans l'expression (1), remplaçons I par sa valeur :

$\boldsymbol{E=UIt=U(\frac{U}{R})t=\frac{{{{U}^{2}}}}{R}t}}$

En résumé :

(2) $\begin{equation*} \boxed{\boldsymbol{E=UIt=R{{I}^{2}}t=\frac{{{{U}^{2}}}}{R}t}} \end{equation*}$

Qu'est-ce que la puissance ?
Soit un réfrigérateur à monter au premier étage d'un immeuble.
Supposons que l'énergie nécessaire pour effectuer cette action soit égale à 1300 J.
Le moteur de l'ascenseur sera d'autant plus « puissant » qu'il pourra effectuer rapidement l'opération.
S'il le fait en 10 secondes, on dira que ce moteur a une puissance égale à 1300/10 = 130 watts.
S'il le fait en 5 secondes, on dira que ce moteur a une puissance égale à 1300/5 = 260 watts.

En effet, la puissance P est égale à l'énergie E divisée par le temps t :

$\boxed{\boldsymbol{P=\frac{E}{t}}}$

et par conséquent :

$\boxed{\boldsymbol{E=Pt}}$

L'énergie E étant exprimée en joules, le temps t en secondes, la puissance P est alors exprimée en watts (W).

Puissance : cas de la résistance en courant continu
Pour calculer la puissance P, il suffit simplement de diviser l'énergie exprimée dans l'expression (2) par le temps t, ce qui donne :

$\boxed{\boldsymbol{P=UI=R{{I}^{2}}=\frac{{{{U}^{2}}}}{R}}}$

La puissance P est appelée « puissance dissipée » dans la résistance R.
La structure physique de la résistance doit permettre la dissipation de la chaleur correspondante. Sinon le composant sera abîmé voire carrément détruit !

Et la puissance en courant non continu ?
Nous ne considèrerons que le cas des signaux périodiques (tensions et courants).

Prenons momentanément l'exemple d'une source de tension alternative sinusoïdale délivrant la tension u suivante :

Et connectons notre résistance R à cette source de tension.
Pendant l'alternance négative, la tension change de signe et le courant change de sens par rapport à ce qu'ils étaient pendant l'alternance positive.
Est-ce à dire que l'effet thermique constatée dans la résistance sera différent d'une alternance à l'autre ?
La réponse est « non » : la résistance ne va pas refroidir pendant l'alternance négative… Elle chauffera exactement de la même manière qu'elle a chauffé pendant l'alternance positive.

Le souci est plutôt qu'au sein d'une période T, la tension u est différente à chaque instant : u est la valeur instantanée de la tension.
De même pour le courant i.
D'ailleurs ils sont liés par la loi d'Ohm « instantanée » :

$\boxed{\boldsymbol{u=Ri}}$

Mais alors, comment exprimer la puissance puisque tension et courant changent tout le temps de valeurs ?
Le concept de « valeur efficace » a alors été créé : la valeur efficace d'une tension périodique est la valeur qu'aurait une tension continue produisant les mêmes effets physiques, par exemple la même élévation de température, dans les mêmes conditions.
Cette valeur efficace se calcule mathématiquement : on élève la tension au carré, on calcule la valeur moyenne du résultat et enfin on effectue la racine carrée de cette valeur moyenne. D'où le terme anglais : « RMS », « Root Mean Square ». « Square » (« carré ») : l'élévation au carré, « Mean » (« moyen ») : la valeur moyenne du carré et « Root » (« racine ») : la racine carrée de la valeur moyenne !
Idem pour le courant.
On parle donc de volts et d'ampères efficaces ou de volts et ampères RMS.

Pour la tension alternative sinusoïdale prise comme exemple, on démontre que les valeurs efficaces et maximales des tensions et courants sont liées par les formules suivantes :

(3) $\begin{equation*} \boxed{\boldsymbol{{{u}_{{eff}}}=\frac{{{{u}_{{\max }}}}}{{\sqrt{2}}}}} \end{equation*}$

(4) $\begin{equation*} \boxed{\boldsymbol{{{i}_{{eff}}}=\frac{{{{i}_{{\max }}}}}{{\sqrt{2}}}}} \end{equation*}$

On en déduit immédiatement :

$\boxed{\boldsymbol{{{u}_{{\max }}}={{u}_{{eff}}}\sqrt{2}}}$

et :

$\boxed{\boldsymbol{{{i}_{{\max }}}={{i}_{{eff}}}\sqrt{2}}}$

Exemple : le secteur
La valeur « 230 V » est une valeur efficace.
On en déduit la valeur maximale, appelée aussi valeur crête : $\boldsymbol{230\sqrt{2}=325\textbf{ V}}$ environ.

Attention
1. Pour tout autre signal périodique non sinusoïdal, les formules ci-dessus où apparaît $\boldsymbol{\sqrt{2}}$ ne sont pas applicables… Il faut alors passer par le calcul mathématique (non au programme de l'examen).
2. La valeur efficace d'une somme de deux tensions périodiques n'est pas égale à la somme de leurs valeurs efficaces.

Connectons maintenant notre résistance R à une source de tension périodique de forme quelconque.
On démontre que la puissance P se calcule de la façon suivante :

$\boxed{\boldsymbol{P={{u}_{{eff}}}{{i}_{{eff}}}}}$

Autrement dit, c'est exactement la même formule qu'en courant continu mais en utilisant cette fois-ci les valeurs efficaces de la tension et du courant.

On démontre également cette autre forme de la loi d'Ohm :

$\boxed{\boldsymbol{{{u}_{{eff}}}=R{{i}_{{eff}}}}}$

En effectuant les mêmes calculs que ceux que nous venons d'effectuer dans le cas d'une tension continue, nous obtenons :

$\boxed{\boldsymbol{P={{u}_{{eff}}}{{i}_{{eff}}}=R{{i}_{{eff}}}^{2}=\frac{{{{u}_{{eff}}}^{2}}}{R}}}$

Dans le cas d'une tension alternative sinusoïdale et uniquement dans ce cas, on peut également utiliser les valeurs maximales, grâce aux relations (3) et (4) :

$\boldsymbol{P={{u}_{{eff}}}{{i}_{{eff}}}=\frac{{{{u}_{{\max }}}}}{{\sqrt{2}}}\frac{{{{i}_{{\max }}}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{1}{2}{{u}_{{\max }}}{{i}_{{\max }}}}$

et :

$\boldsymbol{P=\frac{1}{2}R{{i}_{{\max }}}^{2}=\frac{1}{2}\frac{{{{u}_{{\max }}}^{2}}}{R}}$

Mais il est préférable de ne retenir que les formules de puissance utilisant les valeurs efficaces tout en sachant convertir ces valeurs efficaces en valeurs maximales.

Bien noter cependant que :

$\boxed{\boldsymbol{\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2}}$